Sistemas de Numeración Precolombinos

This is a reprint ofLecturas Matem´aticasVolumen 25 (2004), p´aginas 159–190Los sistemas de numeraci´on maya,azteca e incaEugenio M. Fedriani Martel & ´Angel F. TenorioVillal´onUniversidad Pablo de Olavide, Sevilla, Espa˜naLecturas Matem´aticasVolumen 25 (2004), p´aginas 159–190Los sistemas de numeraci´on maya,azteca e incaEugenio M. Fedriani Martel & ´Angel F. Tenorio Villal´onUniversidad Pablo de Olavide, Sevilla, Espa˜naAbstract. This paper describes how the ancient Mayans, Aztecs,and Incas counted. It also discusses other methods of countingand calculating used in Precolumbian civilizations. The mostcommonly accepted hypotheses about the origins of numerical systemsin these civilizations are presented, and social/cultural influenceson the development of number systems are discussed.Key words and phrases. Precolumbian Mathematics, numerationsystem, numbers, arithmetic.2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 01A12.Resumen. En este trabajo se explica c´omo contaban mayas, aztecase incas. Tambi´en se hace referencia a algunos otros m´etodosde conteo y c´alculo en las civilizaciones de la Am´erica precolombina.Igualmente indicamos las hip´otesis m´as aceptadas acercade los or´ıgenes de los sistemas de numeraci´on de dichas civilizaciones,aludiendo a las posibles influencias de la sociedad en laelaboraci´on de los mismos.1. Introducci´on a los sistemas de numeraci´onLos n´umeros son unos de los objetos matem´aticos que han ido apareciendode una manera u otra en todas las culturas. La arqueolog´ıa parece160 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONconfirmar que la idea de n´umero y su utilizaci´on surge en el mundo hacem´as de 30.000 a˜nos y es muy posible que los ordinales precedieran a loscardinales. Aunque pueda parecernos extra˜no, el n´umero no surgi´o paracontar o medir, sino para ordenar. Cuando nuestros lejanos antepasadoscelebraban sus ceremonias religiosas, necesitaban una forma de establecerel orden de participaci´on de cada uno y un modo de hacer que todossupieran cu´ando actuar.La necesidad de contar objetos o de medir magnitudes surge en elmomento en que se quiere crear una estructura social organizada y estructurada,pero la forma en que se han representado los n´umeros a lolargo de la historia s´ı ha evolucionado e incluso, en un mismo per´ıodotemporal, ha dependido de la zona geogr´afica y de la propia cultura quelos desarrollase. La manera de representar los n´umeros, seg´un algunosautores como Guedj [1996], puede ser una de las tres siguientes: visual,oral y escrita. Tanto la visual como la oral ser´ıan posibles en los diversospueblos surgidos a lo largo de la historia, pero la escrita solo ser´ıa posibleen aquellas civilizaciones en las que hubiese aparecido la escritura.Dependiendo del canal de comunicaci´on a emplear para representarlos n´umeros, Guedj [1996] habla de los siguientes tres tipos de sistemasde numeraci´on:1. Sistemas de numeraci´on figurada: son los constituidos por unsistema de marcas f´ısicas realizadas sobre soportes u objetos. Entreestos sistemas de numeraci´on se encuentran las cuerdas con nudoso quipus de los incas (desarrollados en el s. xiii d.C.), de las quehablaremos m´as adelante.2. Sistemas de numeraci´on hablada: son los que atribuyen unnombre a cada n´umero con palabras de la lengua natural, de modoque al transcribirlas por escrito, se escribir´ıan con todas sus letrascomo en: uno, dos, mil...3. Sistemas de numeraci´on escrita: son los que emplean s´ımbolosya existentes o in´editos para representar los n´umeros. Entre estossistemas se encuentran los sistemas de numeraci´on de los mayas yde los aztecas que describiremos despu´es.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 161La mayor´ıa de los sistemas de numeraci´on que han aparecido en lahistoria han considerado una base que les permit´ıa expresar los n´umerosempleando una cantidad peque˜na de s´ımbolos. Adem´as, el uso de unabase permit´ıa agrupar unidades y establecer as´ı una escala en la sucesi´onde los n´umeros, definiendo unidades de diversos ´ordenes. La utilizaci´onde una base se justifica en la econom´ıa del lenguaje y en la necesidadde establecer un sistema con una cantidad finita de signos (aunque hayainfinitos entes representados).Guedj [1996] da una segunda clasificaci´on de los sistemas de numeraci´on basada en c´omo deben interpretarse los s´ımbolos de un sistema denumeraci´on escrita. Hay posibles interpretaciones:• Sistema de numeraci´on aditivo: solo se emplea la operaci´onadici´on para componer los n´umeros a partir de las cifras.• Sistema de numeraci´on h´ıbrido: se emplean tanto la adici´oncomo la multiplicaci´on a la hora de componer los n´umeros. Laadici´on sirve para contabilizar qu´e aporta cada potencia de la base,mientras que en una misma potencia se recurre a la multiplicaci´on.• Sistema de numeraci´on de posici´on: los sistemas de numeraci´on posicionales emplean unos s´ımbolos, que denominamos cifrasy tienen un valor dependiendo del lugar donde se sit´uan.Ya que estamos hablando de los sistemas de numeraci´on y, por tanto,de la representaci´on de los n´umeros naturales, debemos hacer unaaclaraci´on acerca del n´umero cero, “0”. En los textos cl´asicos de historiade las matem´aticas, se afirma con absoluta rotundidad que el cero,como n´umero, surgi´o en la Antigua India. No obstante, existen dos civilizacionesprevias que emplearon sistemas posicionales de numeraci´ony que pose´ıan un s´ımbolo para indicar la ausencia de n´umero en unaposici´on. As´ı los babilonios, con anterioridad al s.III a.C., representaronesta ausencia de cifra en una unidad con una doble espiga inclinada.Igualmente los mayas, posteriormente, emplearon un signo gr´afico queles permit´ıa separar unidades de diferente orden, de modo que la posici´on intermedia estaba vac´ıa. Pero en ninguno de estos dos casos estes´ımbolo se convierte en un n´umero, sino en un m´etodo para obtener unarepresentaci´on libre de todo tipo de ambig¨uedad a la hora de expresar162 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONlos n´umeros en sus respectivos sistemas de numeraci´on. Esta opini´on esla defendida por autores como Guedj [1996] o Joseph [2000] y nosotrosla secundamos debido a que los n´umeros en estas civilizaciones no eranobjetos abstractos, sino que siempre iban acompa˜nados de aquello quemed´ıan o contabilizaban.2. Sistemas de numeraci´on en las culturas de la Am´ericaprecolombinaEn la Introducci´on hemos indicado los posibles sistemas de numeraci´on que utilizar seg´un empleemos la vista, el lenguaje oral o la escritura.Igualmente, hemos hecho referencia a que en estos sistemas suelen emplearseadem´as agrupaciones de las unidades y, por tanto, son sistemasde numeraci´on que poseen una base.En esta secci´on indicaremos algunos sistemas de numeraci´on empleadospor las civilizaciones precolombinas de Iberoam´erica. Posteriormenteprofundizaremos en las de las tres civilizaciones m´as importantes dela misma: la civilizaci´on maya, la azteca y la inca.Debido a que no pose´ıan un lenguaje escrito o a que a´un no se hapodido descifrar dicha escritura (como ocurre con el caso de los mayas yde los aztecas), los datos escritos de los que tenemos constancia directasobre estas civilizaciones y que sean contempor´aneos a las mismas sehan obtenido por medio de los documentos que elaboraron los espa˜nolesdurante los siglos xvi y xvii, tras la conquista y destrucci´on de dichascivilizaciones. No obstante, en los monumentos y papiros con jerogl´ıficosque nos han llegado a la actualidad (y que no siempre corresponden aun lenguaje escrito) y en la informaci´on recopilada por algunos de losespa˜noles que conquistaron y colonizaron las Am´ericas, se ha podidodeducir alg´un conocimiento de sus matem´aticas. De hecho, seg´un lamayor´ıa de los autores que han tratado este tema, el ´unico conocimientomatem´atico del que se puede asegurar su existencia es el obtenido dedichas fuentes y de las obtenidas gracias a etn´ologos, viajeros y ling¨uistas(aficionados o profesionales) que han desarrollado sus estudios durantelos siglos xix y xx. Nos refererimos, por citar a algunos, a trabajos yestudios como los realizados en [10, 11, 18].LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 163Como hemos dicho antes, tres fueron las civilizaciones precolombinasprincipales: la maya, la azteca y la inca. Las dos primeras usaban unsistema de numeraci´on que suele clasificarse como vigesimal (aunque losmayas empleaban tambi´en la base cinco en dicho sistema), mientras quelos incas empleaban uno decimal posicional. Sin embargo, no fueronlas ´unicas poblaciones que desarrollaron sistemas de numeraci´on y nisiquiera fueron siempre ´esas las bases empleadas.Los sistema ternarios (base tres) fueron empleados, por ejemplo, poruna tribu brasile˜na que para contar hac´ıa uso de las tres articulacionesde las falanges de los dedos. Si queremos ejemplos de sistemas cuaternarios(base cuatro) podemos encontrarlos tanto en diversas tribussudamericanas como en la tribu de indios yuki, en California. Estos´ultimos empleaban para contar los huecos que hay entre los dedos de lamano.Pero los sistemas de numeraci´on que alcanzaron mayor difusi´on fueronlos quinarios, que empleaban el cinco como base. Una explicaci´onpara convencerse del uso del cinco como la base m´as difundida para lossistemas de numeraci´on puede hallarse, seg´un diversos autores [del Rey,2004; Joseph, 2000], en que existen diversos idiomas donde las palabras“cinco” y “mano” eran coincidentes o ten´ıan un parentesco muy marcado.Por poner un ejemplo, la tribu de indios tamancos de Sudam´ericausaban para “cinco” la misma palabra que para “mano”; para “seis” lacorrespondiente a “uno en la otra mano”; as´ı se continuar´ıa hasta “diez”que ser´ıa “ambas manos”; para “once” se comenzaban a contar los dedosdel pie, por lo que emplean la palabra “uno del pie”; para “quince”, lapalabra “un pie completo”; y para “veinte”, la palabra “un indio”. Unavez completados los dedos de las extremidades de un indio, se pasa ya aun segundo indio, por lo que para “veintiuno” usar´ıan la palabra “unoen la mano de otro indio”, y as´ı “dos indios”, “tres indios”...164 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ON3. El sistema de numeraci´on mayaEl per´ıodo cl´asico de la civilizaci´on maya abarca del 250 d.C. al 900d.C., aunque se construy´o partiendo de una civilizaci´on que lleg´o a habitarun territorio que corresponde en la actualidad a lo que se ha dadoen llamar la zona mesoamericana (a saber: Guatemala, M´exico, Belicey Honduras) y que se remonta al 2000 a.C.Los conocimientos que se tienen de la civilizaci´on maya y, por tanto,de sus conocimientos matem´aticos proceden de las siguientes tres fuentesseg´un Joseph [2000]:1. Las inscripciones jerogl´ıficas localizadas en columnas llamadas estelas.´Estas se construyeron cada veinte a˜nos durante, al menos,cinco siglos y registraban la fecha exacta de construcci´on, los principaleshechos durante esos veinte a˜nos y los nombres de los noblesy los sacerdotes prominentes.2. Las pinturas y jerogl´ıficos encontrados en paredes de minas y cuevasmayas conten´ıan valios´ısima informaci´on tanto de su vida cotidianacomo de sus actividades cient´ıficas.3. Los manuscritos supervivientes a la conquista y posterior destrucci´on espa˜nola de la cultura maya. Los m´as importantes son elC´odex de Dresde (en la S¨achsische Landesbibliothek), el C´odexPeresianus o de Par´ıs (en la Biblioteca Nacional de Par´ıs) y elC´odex Tro-Cortesiano o de Madrid (en el Museo de Am´erica, enMadrid). Las Figuras 1, 2 y 3 corresponden a fragmentos del C´odexde Dresde, del de Par´ıs y del de Madrid, respectivamente.El C´odex de Dresde es un tratado sobre astronom´ıa y consiste en unacopia hecha en el s. xi de la obra original, que databa del s. vii u viii.Este c´odice es una de las principales fuentes de informaci´on existentessobre el sistema de numeraci´on maya.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 165Figura 1: C´odex de Dresde y dos fragmentos suyos.166 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONFigura 2: Fragmento del C´odex de Par´ıs.Figura 3: Fragmento del C´odex de Madrid.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 167Los mayas idearon y utilizaron durante el primer milenio de nuestraera un sistema de numeraci´on posicional vigesimal de una gran eficaciay cuya representaci´on solo requer´ıa de tres s´ımbolos: el punto, la raya yel ´ovalo. El sistema de numeraci´on maya, en opini´on de Guedj [1996],fue uno de los m´as econ´omicos que han existido.El estudio de este c´odice ha permitido establecer que la civilizaci´onmaya empleaba un sistema de numeraci´on vigesimal que usaba de maneraauxiliar otro de base 5. Los dos s´ımbolos num´ericos utilizados eran:un punto redondo para el 1 (´este proceder´ıa de un guijarro [O’Connor& Robertson, 2000]) y una raya o barra para el 5 (´este proceder´ıa decinco puntos tachados [del Rey, 2004], de un palo usado para contar[O’Connor & Robertson, 2000] o de un cayado [Joseph, 2000]). El restode los n´umeros entre 1 y 19 se obten´ıan mediante combinaciones depuntos y rayas (v´ease la Figura 4). El sistema de numeraci´on maya eraposicional y se escrib´ıa en vertical (de arriba hacia abajo), comenzandocon la cifra correspondiente al nivel superior.1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20Figura 4: Primeros veinte n´umeros de la numeraci´on maya.Al ser un sistema posicional, se necesitaba de un signo o s´ımbolo queindicase cu´ando en una posici´on no hab´ıa ninguna cantidad y, por tanto,su valor era cero. El s´ımbolo que se emple´o fue un ´ovalo horizontal que,seg´un la mayor´ıa de autores [Casado, 1997–2000; Joseph, 2000; Guedj,1996], representaba la concha de un caracol. En la Figura 5 pueden168 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONobservarse diversos jerogl´ıficos que se emplearon para dibujar ese ´ovalohorizontal.Figura 5: Diversas formas del s´ımbolo empleado para la cifra cero porlos mayas.Pese a que algunos autores [del Rey, 2004] piensan que la existenciade ese s´ımbolo indica la aparici´on del concepto del n´umero cero algunossiglos antes del establecimiento del sistema de numeraci´on indoar´abigo,otros autores [Guedj, 1996; Joseph, 2000] explican que este s´ımbolo dela concha empleado por los mayas era ´unicamente un signo separador yeficaz con el que evitar una escritura ambigua de los n´umeros, pero queen ning´un modo podr´ıa ser considerado como un n´umero en opini´on deestos autores.Es m´as, en Casado [1997–2000] se llega a indicar la despreocupaci´onde los mayas por el concepto de la cantidad nula. En cualquier caso,los mayas comprendieron que era imprescindible un s´ımbolo indicativode la ausencia de unidades de un orden para que su sistema de numeraci´on posicional funcionase de manera apropiada y sin ning´un tipo deambig¨uedad en su interpretaci´on.Seg´un del Rey [2004], la creaci´on de este sistema de numeraci´onsurgi´o para afrontar las necesidades del c´alculo cronol´ogico. La causade que este sistema fuese vigesimal es, seg´un O’Connor & Robertson[2000], que en la antig¨uedad se contaba con los dedos de las manos yde los pies. El papel jugado por el n´umero “cinco” era destacado, porLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 169tanto, en clara referencia al n´umero de dedos que hay en una mano o unpie.El sistema de numeraci´on maya hemos dicho que era vigesimal a lahora de comentarlo, pero habr´ıa que ser m´as preciso. El estudio delC´odex de Dresde (que es el ´unico que ofrece suficiente informaci´on paraestudiar el sistema de numeraci´on) ha llevado a la conclusi´on de querealmente no es un sistema puramente vigesimal ya que presenta unaanomal´ıa que evita que lo fuese:La primera cifra indicaba el n´umero de unidades de primer orden(que iba de 1 a 19). La segunda cifra indicaba el n´umero de unidadesde segundo orden, por lo que debiera indicar cu´antos veintes hab´ıa en eln´umero escrito (no m´as de diecinueve veces veinte). En consecuencia, latercera cifra deber´ıa indicar el n´umero de cuatrocientos contenidos en eln´umero representado. Pues aqu´ı es donde se encuentra la obstrucci´on aque el sistema sea puramente vigesimal: la tercera cifra lo que indicabaen realidad era cu´antas veces estaba contenido el producto 18×20 = 360en el n´umero representado. A partir de ah´ı volvemos a una notaci´onm´as habitual: la cuarta cifra hace referencia a 18 × 202, la quinta a18 × 203 ...Seg´un veremos enseguida, la justificaci´on del uso de un sistema de numeraci´on no puramente vigesimal se encuentra en el hecho de que, comoya hemos dicho, las ´unicas evidencias escritas sobre dicho sistema se hanobtenido del estudio del C´odex de Dresde. Este c´odice era un tratado deastronom´ıa que usaron los sacerdotes mayas. El sistema de numeraci´onque aparece en ´el ser´ıa, por tanto, el usado por estos sacerdotes desde almenos el 400 a.C. para realizar los c´alculos del calendario maya [Joseph,2000].Los sacerdotes eran los encargados de la ciencia en el civilizaci´on mayay para las observaciones astron´omicas y los c´alculos del calendariorequerir´ıan, seg´un Casado [2004] y O’Connor & Robertson [2000], unconocimiento matem´atico y un sistema de numeraci´on con unas unidadesde tercer orden que permitiesen obtener un n´umero, 360, muy cercanoa la duraci´on de un a˜no maya, como veremos posteriormente.170 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONEn opini´on de Ifrah [2000], el sistema de numeraci´on anterior deb´ıaser el usado por los sacerdotes mayas y solo se empleaba en c´alculos astron´omicos y del calendario. Seg´un ´el, debi´o existir un segundo sistemade numeraci´on realmente vigesimal y que habr´ıan empleado mercaderesy habitantes oralmente. En ´el la tercera cifra de un n´umero corresponder´ıa realmente a 202 unidades, en lugar de a 18 × 20.En el C´odex de Dresde aparece una representaci´on de los n´umeros dela serpiente, que ten´ıan much´ısima importancia en la cosmolog´ıa mayay que podemos ver en la Figura 6.Figura 6: Representaci´on de los n´umeros de la serpiente.En este dibujo aparecen dos conjuntos de n´umeros representados en losenroscamientos de la serpiente: un conjunto en negro y otro en rojo (grisen la Figura 6). Seg´un el sistema de numeraci´on que hemos indicadoanteriormente, los n´umeros que se representan son, respectivamente:LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 1714 × (18 × 204) + 6 × (18 × 203) + 9 × (18 × 202) + 15 × (18 × 20) + 12 × 20 + 19= 12454459;4 × (18 × 204) + 6 × (18 × 203) + 1 × (18 × 202) + 9 × (18 × 20) + 15 × 20 + 0= 12394455.Los mayas no solo dispon´ıan de la notaci´on antes indicada, sino quepose´ıan otra alternativa que aparece frecuentemente, aunque siemprejunto con su representaci´on mediante puntos y rayas. Este sistema, llamadosistema de cabezas variables, se basaba en una serie de jerogl´ıficosantropom´orficos que representaban cabezas de deidades, seg´un se indicaen Joseph [2000]; en concreto, la de las trece divinidades del mundo superior(denominadas deidades patronas del n´umero) m´as seis variantes.La diferencia primordial con la representaci´on anteriormente explicadaes, como puede verse en la Figura 7, la necesidad de emplear 20 s´ımbolosdistintos para escribir las cifras del 0 al 19 en el sistema vigesimal.3.1. Los calendarios mayas. Como ya hemos indicado anteriormente,el sistema de numeraci´on maya estaba fuertemente influido por elc´alculo en el calendario maya. De hecho, seg´un Joseph [2000], se construy´o teniendo en cuenta los tres calendarios diferentes manejados porlos mayas. Por esta raz´on creemos conveniente hacer aqu´ı algunas indicacionessobre los tres calendarios mayas y sus respectivas propiedadescaracter´ısticas.El primer calendario usado por los mayas se llamaba tzolkin o a˜nosagrado y constaba de 260 d´ıas distribuidos en veinte ciclos de trece d´ıascada uno. En cada ciclo, exist´ıa un d´ıa designado a cada uno de los diosesdel mundo superior, al que se le rezaba y suplicaba. De hecho, el calendariotzolkin se cre´o con el fin de representar rituales religiosos y paracontar la edad de los habitantes. Como se puede ver en Joseph [2000],un d´ıa concreto del a˜no sagrado pod´ıa indicarse a˜nadiendo al jerogl´ıficoasociado a uno de los veinte d´ıas b´asicos, un n´umero correspondiente dela serie de los trece n´umeros.Los d´ıas, llamados kins por los mayas, se nombraban utilizando unn´umero del 1 al 13 seguido por una de las veinte caras de la Figura7. A continuaci´on transcribimos los nombres de cada uno de los trece172 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONn´umeros que formaban el ciclo y de cada uno de los veinte dioses cuyascaras se representan en la Figura 7:Nombres de los dioses1) Imix 2) Ik 3) Akbal4) Kan 5) Chikchan 6) Kimi7) Manik 8) Lamat 9) Muluk10) Ok 11) Chuwen 12) Eb13) Ben 14) Ix 15) Men16) Kib 17) Kaban 18) Etznab19) Kawak 20) AhauNombres de los 13 d´ıas1) Hun 2) Ka 3) Ox4) Kan 5) Ho 6) Uak7) Uuk 8) Uaxak 9) Bocon10) Lahun 11) Buluc 12) Lahat13) OxlahnFigura 7: Los n´umeros mayas de “cabezas variables”.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 173Seg´un estas tablas, cada uno de los 260 kins de este calendario vendr´ıadado como sigue: 1 Imix, 2 Ik, 3 Akbal, . . . , 13 Ben, 1 Ix, 2 Men, . . . ,7 Ahau, . . . , 13 Kimi. As´ı se continuar´ıa hasta llegar al ´ultimo d´ıa dela˜no (13 Ahau) con lo que habr´ıan pasado 260 d´ıas y comenzar´ıamos unnuevo a˜no sagrado con el 1 Imix [An´onimo, 2004].Seg´un Joseph [2000], a las tareas de la vida cotidiana (como pod´ıaser la agricultura) no les era de mucha utilidad el calendario tzolkin, yaque no permit´ıa llevar un seguimiento de las estaciones. Es por esto quese hac´ıa uso de un segundo calendario que recib´ıa el nombre de Haaby que algunos autores lo denominan por cualquiera de los tres nombressiguientes: calendario civil, secular o gen´erico.Este calendario constaba de 365 d´ıas (lo que viene a ser un a˜no solar),que quedaba dividido en dieciocho per´ıodos mensuales o meses de veinted´ıas seguidos de un “mes” extra con cinco d´ıas. Cada uno de estosper´ıodos de veinte d´ıas recib´ıa el nombre de uinal. Por otro lado, el“mes” extra de cinco d´ıas era considerado per´ıodo festivo y de infortunio.Se le llamaba uayeb que, seg´un del Rey [2004], significaba sin nombreo ponzo˜na. En Joseph [2000] se indica que el jerogl´ıfico empleado pararepresentar a dicho per´ıodo ten´ıa como significado el caos, la corrupci´ony el desorden. Es m´as, a los nacidos en esos cinco d´ıas se les tachabade malditos hasta el d´ıa de su muerte. La forma de computar el d´ıa coneste calendario se basaba en dar el nombre del uinal y numerar de 1 a20 los d´ıas en cada uinal.Los mayas a´un empleaban una forma m´as de contar el paso del tiempo,con lo que manejaban un tercer calendario [Joseph, 2000]. No obstante,tambi´en existe la opini´on de que ´este no era realmente un calendario,sino una escala temporal absoluta cuya base era precisamente la fechaen que se cre´o la cultura maya (situada en el 11 ´o 13 de agosto del 3114a.C.). No obstante, existen historiadores que no creen que esa fechafuese el cero de esta escala.Tanto si se trata de un calendario como de una escala, el nombre querecib´ıa esta forma de computar el tiempo era el de cuenta larga. En lacuenta larga, un a˜no se llamaba tun y estaba formado por 360 d´ıas o,como dijimos anteriormente, kins. Un dato que indica la importancia174 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONde este calendario es que las fechas fundacionales de las ciudades, queaparec´ıan en diversas inscripciones, se escrib´ıan en cuenta larga.3.2. Una explicaci´on de la anomal´ıa del sistema de numeraci´onmaya. A continuaci´on vamos a ver la causa de la anomal´ıa en el sistemade numeraci´on maya. Como se explic´o anteriormente, la primera cifra delsistema de numeraci´on deb´ıa multiplicarse por una unidad, la segundahab´ıa que multiplicarla por 20 y la tercera por 18 × 20. Este hechoera el que imped´ıa que el sistema de numeraci´on maya fuese realmentevigesimal en el sentido que definimos en la actualidad, ya que de serlola tercera cifra deb´ıa significar que se multiplicaba por 202 en lugar depor 18 × 20.Pero esta anomal´ıa tiene una explicaci´on y precisamente esta explicaci´on radica en el uso de los calendarios por parte de los mayas y enla importancia dada a la medida del tiempo. Como veremos a continuaci´on, el sistema de numeraci´on maya estaba preparado para querepresentase a˜nos seg´un el calendario de cuenta larga. Indicamos ahoralas equivalencias de las unidades temporales del calendario de estecalendario de cuenta larga y que hemos sacado de Joseph [2000]:1 uinal = 20 kins; 1 piktun = 20 baktuns = 18 × 204 kins;1 tun = 18 uinals = 18 × 20 kins; 1 calabtun = 20 piktuns = 18 × 205 kins;1 katun = 20 tuns = 18 × 202 kins; 1 kichiltun=20 calabtuns=18 × 206 kins;1 baktun=20 katuns=18 × 203 kins; 1 alautin = 20 kichiltuns = 18 × 207 kins.Cada una de estas unidades se representaba mediante un jerogl´ıficoespec´ıfico del tipo de cabezas variables a las que se les a˜nad´ıa un n´umeroescrito con puntos y rayas. Un ejemplo del uso de estas unidades esel que podemos encontrar en la Figura 8, que representa la secci´on deuna estela en la ciudad de Quirigua (Guatemala) en la que aparec´ıa sufecha de construcci´on en el calendario de cuenta larga. Si traducimos lascantidades indicadas en dicha estela, tendr´ıamos los siguientes valores yel c´alculo de d´ıas:9 baktuns17 katuns0 tuns0 uinals0 kins9 · 18 · 203 + 17 · 18 · 202 = 1418400.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 175Con lo cual, la ciudad se habr´ıa erigido 1.418.400 d´ıas despu´es delcomienzo de la era maya (pongamos que 1.418.400 d´ıas desde el 12 deagosto de 3114 a.C.), lo que ser´ıa, aproximadamente, el 23 de enero del771 d.C.Figura 8: Fecha en calendario “ cuenta larga ”.3.3. La aritm´etica maya. Aunque la adici´on y la sustraci´on erannaturalmente empleadas con el sistema de numeraci´on maya debido aque era un sistema de numeraci´on de tipo aditivo, la mayor´ıa de los autoressuelen asegurar que no dispon´ıan de m´etodos que les permitiesenmultiplicar sus n´umeros y, menos a´un, realizar la divisi´on de n´umeros.Seg´un Joseph [2000], la anomal´ıa del sistema de numeraci´on maya que yahemos comentado reduc´ıa las posibilidades de conseguir t´ecnicas eficientesde c´alculo aritm´etico.Cuando se a˜nade un cero al final de un n´umero en el sistema de numeraci´on actual, se est´a indicando la multiplicaci´on por diez del n´umerode partida, pero si se a˜nadiese la cifra cero a un n´umero escrito en el176 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONsistema de numeraci´on maya, entonces ya no se estar´ıa multiplicandopor veinte, ya que la cifra que estaba en el segundo orden pasar´ıa aestar en el tercero, por lo que quedar´ıa multiplicada por dieciocho yno por veinte. Al no desarrollarse operaciones tan sencillas como ´estas,no lleg´o a aparecer el concepto de fracci´on. No obstante, en Lambert,Ownbey-McLaughlin & McLaughlin [1980] se prueba que el sistema denumeraci´on maya permit´ıa usar tanto la multiplicaci´on como la divisi´on.En cualquier caso, los mayas fueron capaces de efectuar medicionesastron´omicas de una muy aceptable exactitud y que realizaban usandopalos como ´unicos instrumentos. De este modo, calcularon la aproximaci´on de 365’242 d´ıas para la duraci´on del a˜no solar, que en la actualidadse considera como 365’242198 d´ıas. Igualmente, aproximaron de maneramuy exacta la duraci´on del mes lunar como de 29’5302 d´ıas, mientrasque hoy se sit´ua en 29’53059 d´ıas.4. El sistema de numeraci´on aztecaEl C´odex Mendoza (que data del s. xvi d.C.) es, seg´un Guedj [1996],la principal fuente a la que recurrir en el estudio del sistema de numeraci´on azteca. En este c´odice (del que puede observarse un fragmento enla Figura 9) se computaba el tributo en especies a pagar a los conquistadoresespa˜noles por siete ciudades aztecas.El sistema de numeraci´on de los aztecas era vigesimal y de tipo aditivo.Se empleaban cuatro s´ımbolos diferentes que estaban muy influidospor el cultivo del ma´ız, que era el principal alimento en esta civilizaci´on[Joseph, 2000].Los s´ımbolos utilizados, y que podemos ver en la Figura 10, eranseg´un Joseph [2000]: para el “1”, un punto o borr´on que representabauna vaina de la semilla del ma´ız; para el “20”, una bandera de las quese empleaban para marcar los l´ımites de un terreno; para el “400”, elesquema de una planta de ma´ız; y para el “8000”, una mu˜neca de ma´ız,que vendr´ıa a ser como las figuras decorativas que tradicionalmente setejen con paja en algunos pa´ıses europeos. No obstante, hay otras interpretacionespara los s´ımbolos num´ericos aztecas, como puede ser la deGuedj [1996], para el cual el “20” viene representado por un hacha, el“400” por una pluma y el “8000” por una especie de bolsa.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 177Figura 9: Fragmento del C´odex Mendoza.Figura 10: S´ımbolos num´ericos empleados por los aztecas.Los aztecas empleaban los n´umeros de una manera muy intuitiva: sise quer´ıa indicar 100 = 5 × 20 hombres, lo que hac´ıan era representarcinco banderas encima de un hombre.178 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ON5. Conteo y c´alculo del imperio incaAunque en la civilizaci´on del imperio inca no se lleg´o a desarrollarla escritura y, en consecuencia, se carec´ıa de la posibilidad de guardarregistros escritos, eso no fue impedimento para que desarrollasen unamanera de registrar cantidades y de representar n´umeros mediante unsistema de numeraci´on decimal posicional.Antes de empezar a hablar del sistema de numeraci´on que emplearonlos incas, debe tenerse en cuenta que el imperio inca se fund´o hacia el1250 d.C. y que hacia el 1532 (antes de la conquista espa˜nola) era extensoy vasto, ocupando un territorio que abarcaba lo que hoy conocemos comoColombia, Ecuador, Per´u, Bolivia, Chile y Argentina.5.1. El sistema de numeraci´on inca: el quipu inca. Como se indic´o anteriormente, no se desarroll´o una escritura por parte de los incas,pero s´ı se les present´o la necesidad de contar objetos y de registrar lainformaci´on num´erica que iban obteniendo. Para ello, los incas tuvieronque desarrollar una forma de registrar la informaci´on num´erica sinescribirla.Crearon unos instrumentos que serv´ıan para registrar y almacenarn´umeros en ellos. Esos instrumentos consist´ıan en unos conjuntos decuerdas con nudos que se denominaban quipus.Los quipus ten´ıan un papel primordial en la administraci´on del imperioinca, pues era el ´unico instrumento de que dispon´ıan para almacenarcualquier tipo de informaci´on num´erica. A continuaci´on se indicar´a c´omose constru´ıan y se interpretaban los quipus.5.2. Construcci´on e interpretaci´on de un quipu. Gran parte de lainformaci´on de que se dispone acerca de los quipus se debe a una cartade Felipe Guam´an Poma de Ayala [1936] al rey de Espa˜na en la queaparec´ıan varios quipus dibujados.Un quipu consiste en un conjunto de cuerdas dispuestas de ciertamanera y en las que se hacen una serie de nudos. A la hora de construirun quipu deb´ıa tenerse en cuenta que se empleaban diferentes tipos decuerda. Cada cuerda ten´ıa al menos dos hebras, de modo que un extremoLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 179acababa en forma de lazo y el otro en punta con un peque˜no nudo. Seg´unla disposici´on que presentase una cuerda, ´esta pod´ıa ser de uno de lostipos siguientes:• Cuerda principal: es la m´as gruesa de todas y de la que partendirecta o indirectamente todas las dem´as.• Cuerdas colgantes: son todas las cuerdas que penden de la principalhacia abajo.• Cuerdas superiores: son cuerdas que se enlazan a la principal,pero dirigi´endolas hacia arriba.• Cuerda colgante final: es una cuerda cuyo extremo en forma delazo est´a unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Eraopcional, por lo que no aparec´ıa en todos los quipus.• Cuerdas secundarias o auxiliares: son cuerdas que se unen acualquiera de las que est´an enlazadas a la principal. A las cuerdasauxiliares se les pod´ıa a su vez unir otra cuerda auxiliar. La cuerdaauxiliar se ataba a la mitad de la cuerda de la que proced´ıa.Una utilidad (que no la ´unica, como veremos) que le daban a la cuerdasuperior era la de agrupar cuerdas colgantes. Para ello, bastaba con recogerlas cuerdas colgantes que se quer´ıan mediante una cuerda superior,obteniendo as´ı grupos separados.De este modo se constru´ıa un quipu que tuviese todas las cuerdas quese necesitaran para la ocasi´on y siguiendo las reglas indicadas respectoa los tipos de cuerdas. A este quipu a´un sin nudos se le llamaba quipuliso (v´ease la Figura 11). En Joseph [2000] se comenta que los quipussol´ıan tener un m´ınimo de tres cuerdas y un m´aximo de 2000.En la construcci´on de los quipus hab´ıa un aspecto m´as a considerar: elcolor de las cuerdas. El color era el c´odigo primario que se utilizaba paraidentificar lo que representaba el n´umero almacenado en dicha cuerda.Gracias a los datos recogidos por los primeros cronistas espa˜noles, setiene constancia de este uso de colores para representar diversos significados,de los que indicamos a continuaci´on algunos ejemplos: para laplata empleaban el blanco; para el oro, el amarillo; y para los soldados,el rojo. No obstante, en los quipus que han llegado hasta nuestro tiempopredominan el blanco mate y diversos tonos de marr´on (aunque esostonos pudieran ser debidos a una diferencia de a˜nos entre los quipus).180 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONFigura 11: Esquema de un quipu liso.En la actualidad no estamos acostumbrados a usar c´odigos exclusivamentecrom´aticos con el fin de distinguir cantidades y operaciones,pero esta forma de actuar no era extra˜na en las civilizaciones antiguas.De hecho, algunos de los casos m´as relevantes eran: el uso de tintas dediferentes colores por parte de los chinos para distinguir entre n´umerospositivos y negativos, o el uso en la Antigua India de nombres de colorespara referirse a las inc´ognitas en las ecuaciones.Hasta este momento solo se ha hecho referencia a la manera de construirun quipu con las cuerdas del tipo y color pertinentes, pero no seha dicho nada a´un de c´omo se almacenaban los n´umeros en este instrumento:En cada una de las cuerdas del quipu (a excepci´on de la cuerda principal)se representaba un n´umero mediante grupos de nudos y empleandoun sistema de numeraci´on decimal posicional. Si se fija una cuerda, cadagrupo de nudos correspond´ıa a una potencia de diez y las diferentes posicionesde estos grupos indicaban a qu´e potencia de diez correspond´ıadicha posici´on.El Inca Garcilaso escribi´o en 1539 en el Cap´ıtulo viii del Libro vide [Inca Garcilaso, 1960] que los grupos de nudos se contaban seg´unel siguiente orden: unidad, decena, centena y as´ı hasta la centena demillar, a la que no se sol´ıa llegar. De este modo, en cada cuerda seLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 181representaban los n´umeros poniendo en lo m´as alto la decena de millar,despu´es la unidad de millar y as´ı hasta llegar a la unidad en el extremoinferior de la cuerda.Por lo tanto, cuando se le´ıa el n´umero representado en una cuerdacolgante, hab´ıa que contar cu´antos nudos hab´ıa en el grupo m´as cercanoa la cuerda principal, ya que ´ese dar´ıa el d´ıgito de mayor valor deln´umero. Cada vez que se pasase a un nuevo grupo de nudos en esa mismacuerda, ir´ıamos bajando al d´ıgito del orden inmediatamente inferior. Deeste modo llegar´ıamos hasta el orden de las unidades, que ser´ıa el ´ultimogrupo de nudos y que estar´ıa situado en el extremo de la cuerda.Para distinguir al grupo de nudos correspondientes a las unidades delos dem´as grupos, se empleaban los tres tipos de nudos distintos (dos deellos para las unidades) que se indican a continuaci´on:• Nudo largo con cuatro vueltas: indicaba que el grupo de nudoscorrespond´ıa al orden de las unidades y se empleaba cuando eld´ıgito de este orden era superior a uno. En ese caso se pon´ıantantos nudos de ´estos como indicase el d´ıgito.• Nudo flamenco o en forma de ocho: indicaba tambi´en la posici´on de las unidades, pero indicando que el d´ıgito era el “1”. Portanto, en las unidades solo aparec´ıa un nudo de este tipo.• Nudo corto o sencillo: era el que se empleaba en las restantesposiciones y se pon´ıan tantos como correspondiese al d´ıgito arepresentar.Para representar al d´ıgito cero en alguna posici´on del n´umero, bastabacon no poner ning´un nudo en dicha posici´on. Para que la ausencia delgrupo de nudos correspondiente a una posici´on pudiese observarse sindar lugar a ninguna ambig¨uedad, era fundamental que el espacio situadoentre los grupos de nudos fuese aproximadamente siempre el mismo.De este modo, cuando aparec´ıa un espacio considerable sin nudos entredos grupos de nudos entonces deb´ıa haber un cero en la posici´on o lasposiciones entre ambos grupos.En la Figura 12 hemos representado esquem´aticamente un quipu contres cuerdas colgantes, una superior y una auxiliar. En las cuerdas colganteshemos representado n´umeros de tres cifras, aunque en el tercero182 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONde estos n´umeros la cifra correspondiente a las decenas es cero. Precisamentede esa tercera cuerda colgante pende una cuerda auxiliar. Por´ultimo, en la cuerda superior hemos representado la suma de los tresn´umeros correspondientes a las tres cuerdas colgantes. Adem´as hemosrepresentado n´umeros que permiten ver el uso de los tres tipos de nudosempleados en la escritura de n´umeros en los quipus.Cuerda PrincipalCuerda SuperiorCuerda AuxiliarCuerdas Colgantes2S4S3S1F24313S2S5L3251S0S3L1032S0S5L20529612S9S6S1FNudo Flamenco (F )Nudo Corto ( S )Nudo Largo ( L )Figura 12: Ejemplo de quipu.Antes dijimos que las cuerdas superiores de un quipu se utilizabanpara agrupar cuerdas colgantes, pero exist´ıa una segunda utilidad de lascuerdas superiores y que era muy frecuente: representar la suma de losn´umeros representados en las cuerdas colgantes.5.3. Or´ıgenes y usos del quipu. La palabra quipu pertenece al quechua,la lengua del pueblo inca, y su significado es “nudo”. El uso deesta palabra para designar a ese conjunto de cuerdas con nudos quehemos comentado anteriormente parece, pues, natural. En la actualidadse tiene constancia de la existencia de cuatrocientos quipus aut´enticosguardados en museos de Europa Occidental y Am´erica.La carencia ya mencionada de un sistema de escritura por parte delos incas les llevar´ıa a tener que emplear dispositivos mnemot´ecnicosLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 183que les permitiesen recordar la informaci´on. Es por ello que los nudosse emplear´ıan con esa funci´on primordial de registrar y preservar lainformaci´on.Al no existir documentos escritos por la cultura inca, los ´unicos mediospara comprender el uso del quipu son el an´alisis de los propios quipus yel estudio en profundidad de las cr´onicas del pueblo inca relatadas porlos soldados, los sacerdotes y los administradores espa˜noles del s. xvi.Se atribuye a Locke [1912;1923] ser la persona que consigui´o descifrarparte del misterio existente alrededor de los quipus y su uso. De hecho,suyo es el descubrimiento de que los quipus eran dispositivos utilizadospara almacenar n´umeros empleando un sistema en base decimal.En vista de lo anterior, el quipu se convirti´o en la herramienta empleadapara mantener las detalladas cuentas y registros que deb´ıan existiren una sociedad tan bien organizada como la inca y en la que conviv´ıanunos seis millones de habitantes. El espa˜nol Cieza de Le´on [1962] (quehizo un registro entre 1547 y 1550) incid´ıa en que dos caracter´ısticasimportantes del imperio inca eran precisamente su orden y su organizaci´on. As´ı, indica que el rey inca dispon´ıa de un inventario con todos losrecursos existentes (producci´on agr´ıcola, ganado, armamento y personas)y que ´este se actualizaba a diario. Con ello, cualquier informaci´onque se necesitase consultar ser´ıa detallada y actualizada. En las Figuras13 y 14 podemos ver, respectivamente, al secretario y al tesorero del reyinca sosteniendo un quipu liso.Esa labor de almacenamiento y actualizaci´on de la informaci´on la llevabana cabo un grupo de funcionarios especiales que recib´ıan el nombrede quipucamayus (lo cual se podr´ıa traducir por los “guardianes de losnudos”). Ellos eran los encargados de guardar los registros correspondientesa los censos oficiales de poblaci´on, producci´on, animales y armasen una determinada ciudad. Es por ello que cada ciudad ten´ıa su propioquipucamayu, llegando a 30 el n´umero de quipucamayus adscritos si laciudad era muy grande. En la sociedad inca, los quipucamayus disfrutabande una posici´on social elevada, incluso dentro del propio cuerpo defuncionarios estatales. No obstante, la capacidad de interpretar y usarquipus estaba ampliamente extendida entre todos los funcionarios incas.184 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONFigura 13: Dibujo del secretario del rey inca.Toda esta informaci´on registrada en los quipus y protegida por losquipucamayu era enviada a la capital del imperio, Cuzco. Para ello seempleaba una especie de servicio oficial de mensajer´ıa cuyos miembros,llamados chasquis, eran corredores de relevos que llevaban los quipusa trav´es del territorio monta˜noso que constitu´ıa el imperio inca. Estoscorredores habitaban por parejas en unas peque˜nas casas de postas que,seg´un Cieza [1962], estaban distribuidas a lo largo de los caminos imperialesa intervalos aproximados de una milla. Cada chasqui iba de unacasa de posta a la siguiente, donde daba los quipus al chasqui que all´ıse encontraba. Este sistema de mensajer´ıa permit´ıa enviar un mensajea Cuzco desde una distancia de 300 millas en un lapso de tiempo nosuperior a 24 horas.El ´abaco inca. Pese a que el quipu se mostr´o de gran utilidad comodispositivo para registrar los resultados de operaciones sencillas, esteinstrumento no serv´ıa para realizar c´alculos m´as all´a del conteo y deLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 185la suma. Es por ello que los estudiosos han buscado un instrumentodiferente con el que los incas realizaran los c´alculos.Un supuesto candidato a ser ese instrumento de c´alculo, seg´un seindica en O’Connor & Robertson [2001] y Joseph [2000], es el objetoque aparece dibujado en una de las 1179 p´aginas de que constaba unacarta escrita por el peruano Guam´an Poma de Ayala [1936] al rey deEspa˜na ocho a˜nos despu´es de la llegada de los espa˜noles. Dicho dibujoes el que reproducimos en la Figura 14 y en ´el aparece un tesorero incacon su quipu y, en la esquina inferior izquierda, una especie de tablerorect´angular dividido en 20 cuadrados, habiendo en cada uno de ellosunos c´ırculos y puntos (que pod´ıan representar semillas o piedras). Esetablero se llamaba yupana (aunque hoy d´ıa hay quien lo conoce por elnombre de ´abaco inca) y se cree que era el tablero de cuentas usado porlos incas.Existe un segundo documento en el que se hace referencia a una especiede instrumento de c´alculo empleado por parte de los incas y en el quese utilizaban granos de ma´ız para hacer los c´alculos. Este documentoes precisamente el Cap´ıtulo viii del Libro 6o de la obra realizada porel jesuita Jos´e de Acosta [1596], que vivi´o entre los incas desde el a˜no1571 al 1586. Se cree, como se refleja en Joseph [2000] y O’Connor &Robertson [2001], que el instrumento al que hace referencia Acosta esel mismo que dibuj´o Poma. Por desgracia, los conocimientos y habilidadesmatem´aticas del sacerdote jesuita no eran suficientes, por lo que nofue capaz de describir c´omo usaban los incas la yupana.El propio Acosta afirmaba que los incas pod´ıan realizar sin ning´unerror cuentas que eran de mucha complicaci´on incluso utilizando tinta ypapel, sin m´as que mover los granos por el tablero de una determinadaforma que fue incapaz de describir.Pese a la creencia general de que la yupana fue el ´abaco inca, existenalgunos historiadores que discrepan de esta opini´on. Desde luego, si realmentela yupana era un ´abaco, ser´ıa interesante saber en qu´e problemaslo empleaban para su resoluci´on.Con el fin de probar o, al menos, justificar que la yupana era un´abaco, se han realizado varios estudios cuyo objetivo era obtener una186 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONFigura 14: Dibujo del tesorero del rey inca y una yupana.interpretaci´on del uso que se hac´ıa del mismo. Un ejemplo de ello es lainterpretaci´on hecha por Wassen [1931] a partir de los dibujos de Pomay seg´un el cual los valores de las filas representar´ıan potencias sucesivasde diez comenzando desde abajo (v´ease la Figura 15), mientras que losde las columnas representar´ıan los valores 1, 5, 15 y 30, respectivamente(v´ease la Figura 15 b)). Por tanto, el n´umero representado en la Figura15 ser´ıa:47 + 21 × 10 + 20 × 100 + 36 × 103 + 37 × 104 = 408257.Aunque Joseph [2000] est´a de acuerdo con la interpretaci´on que daWassen acerca de los valores de las filas de la yupana, no cree que hayalas pruebas necesarias para la interpretaci´on que se da de los valoresde las columnas en Wassen [1931]. De hecho, Joseph cree que ser´ıaincompatible con el sistema de numeraci´on decimal empleado en el quipuinca, por lo que aporta una hip´otesis alternativa acerca de los valoresque tendr´ıan las columnas de la yupana: todas las columnas tendr´ıanLOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 187el valor “1” (v´ease la Figura 15 c)), con lo que el n´umero representadoser´ıa entonces:6 + 3 × 10 + 6 × 102 + 3 × 103 + 5 × 104 = 53636.a) b) c)1 110210 310 41010 31041 5 15 30 1 1 1 110102Figura 15: Interpretaci´on de la yupana de Poma por Wassen [1931].En cualquier caso, parece que el uso de la yupana para sumar y restarno debiera haber dado problemas. Con respecto a los c´alculos de multiplicacionesempleando la yupana, s´olo es posible realizar conjeturas dec´omo las realizar´ıan. De hecho, al desconocer cu´al era la representaci´oncorrecta de la yupana, no se puede ni afirmar ni descartar su uso pararealizar dichos productos. Lo que s´ı podemos reflejar aqu´ı es un posiblem´etodo para multiplicar con el ´abaco dado por Joseph [2000]. El ejemploque propone es el de multiplicar 116 por 52 (estos n´umeros ten´ıancierta relevancia en la civilizaci´on inca) y los c´alculos son lo que se reflejar´ıa en la Figura 16. As´ı, en a) se representa el producto 116×10, estoes, 1160. A continuaci´on, se sumar´ıa consigo mismo cinco veces el 1160resultante en el paso anterior, obteni´endose 5800 como se ve en b)). Por´ultimo, en c) se le sumar´ıa a 5800 dos veces 116, con lo que se obtiene6032, que es el resultado del producto 116 × 52.Aunque no se usase la yupana como se indica en las diversas hip´otesisexistentes, o incluso si la yupana no era empleada como un ´abaco (locual es poco probable en vista de documentos como el del Padre Acosta),lo que no se puede negar es que un paso previo al registro de una188 E. M. FEDRIANI MARTEL & ´A. F. TENORIO VILLAL´ONinformaci´on num´erica en el quipu deb´ıa ser la realizaci´on de c´alculos conalg´un dispositivo que, por qu´e no, podr´ıa ser similar a la yupana o ´abacoinca.6. Conclusi´onAunque el conocimiento actual de los sistemas de numeraci´on de laAm´erica Precolombina no es ni mucho menos completo, es posible afirmarque pose´ıan herramientas de conteo y c´alculo con las que realizarestimaciones con una apreciable exactitud. De hecho, entre los diferentessistemas, pueden se˜nalarse algunas soluciones similares a las adoptadasde forma independiente en los pueblos que desarrollaron culturas comola europea o china, por mencionar alg´un ejemplo.Referencias[1] An´onimo (2004). El Tzolkin maya. Disponible enhttp://tzolkinmaya.tripod.com/[2] Casado, S. (1997–2000). Los sistemas de numeraci´on a lo largo de la historia.Recursos Did´acticos: Proyecto Thales-CICA. Disponible enhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html[3] Cieza de Le´on, P. (1553). La cr´onica del Per´u. Reimpresa en Colecci´onAustral. Espasa-Calpe, 1962.[4] de Acosta, J. (1596). Historia natural y moral de las Indias, Madrid.[5] del Rey, A. (2004). Sistemas de numeraci´on. Disponible enhttp://suanzes.iespana.es/suanzes/sist num.htm[6] Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y de los n´umeros. Ediciones B.[7] Inca Garcilaso (1609). Comentarios reales de los incas. Reimpreso en ObrasCompletas. Madrid, BAE, 1960.[8] Joseph G.G. (2000). The Crest of the Peacock: The Non-European Roots ofMathematics. Princeton University Press.[9] Ifrah, G. (2000). A Universal History of Numbers : From Prehistory to theInvention of the Computer. John Wiley & Sons.[10] Jim´enez de la Espada, M. (1928). Lenguas de Am´erica. Manuscritos de laReal Biblioteca. Madrid. Tomo vi.[11] Kluge, T. (1939). Die Zahlenbegriffe der V¨olker Amerikas, Nordeurasiens, derMunda und der Palaioafrikaner. Berlin.[12] Lambert J. B., Ownbey-McLaughlin B. & McLaughlin C. D.(1980). Maya Arithmetic. Amer. Sci. 68 (3), 249–255.LOS SISTEMAS DE NUMERACI ´ON MAYA, AZTECA E INCA 189[13] Locke, L. L. (1912). The Ancient Quipu: a Peruvian Knot Record. AmericanAnthropologist 14, 325–352.[14] Locke, L. L. (1923). The Ancient Quipu or Peruvian Knot Record. New York,American Museum of Natural History.[15] O’Connor, J. J. & Robertson, E. F. (2001). Mathematics of the Incas.Disponible enhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Inca mathematics.html[16] O’Connor, J. J. & Robertson, E. F. (2000). Mayan Mathematics. Disponibleenhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mayan mathematics.html[17] Poma de Ayala, F. G. (1613–1615). El primer nueva cor´onica y buen gobierno.Edici´on facs´ımil del manuscrito a cargo de Richard Pietschmann ytitulado Nueva cor´onica y buen gobierno. Par´ıs, Institute d’´Etnologie, 1936.[18] von Humboldt, A. (1829). ¨ Uber die bei verschiedenen V¨olkern ¨ublichen Systemevon Zahlzeichen und ¨uber den Ursprung des Stellenwerthes in den indischenZahlen. J. f¨ur reine. und angew. Math. 4:3, 205–231. Reeditado en: von Humboldt,A. (1851). Des syst`emes de chiffres en usage chez diff´erents peuples, etde l’origine de la valeur de position des chiffres indiens. Nouvelles Annales desMath´ematiques 10, 372–407.[19] Wassen, H. (1931). The ancient Peruvian abacus. Comparative EthnologicalStudies 9, 191–205.(Recibido en noviembre de 2004. Aceptado para publicaci´on en diciembre de 2004)Eugenio M. Fedriani´Angel F. TenorioDepartamento de Econom´ıa y EmpresaUniversidad Pablo de OlavideCtra. Utrera km. 1. 41013—Sevilla (Espa˜na)e-mail: efedmar@upo.ese-mail: aftenvil@upo.es